「無限に降下する」——この言葉だけを聞くと、終わりのない階段を延々と下り続けるような奇妙な感覚にとらわれる。だが数学における無限降下法は、その名前に反して「証明を完結させるための強力な武器」だ。17世紀にピエール・ド・フェルマーが整数問題で駆使したとされるこの技法は、一見すると遠回りに見えて、実は自然数のもつ根源的な性質を突いた鋭い論法である。

なぜ「無限に下がり続ける」ことが矛盾になるのか。どう使えば整数問題で突破口が開けるのか。本記事では、フェルマーが遺した証明の構造から大学入試での実践例まで、具体例を交えて解説する。数学的思考の醍醐味を、ここで体感してほしい。

• 要点1：無限降下法は「自然数が整列集合である」性質を利用した背理法の一種で、フェルマーが17世紀に用いた歴史的証明技法。
• 要点2：「条件を満たす自然数があると仮定→より小さい別の自然数を構成→無限に繰り返せる」という流れで矛盾を導く。
• 要点3：ルート2の無理数証明や3乗数の差に関する問題など、大学入試の整数問題でも頻出パターンとして攻略価値が高い。

【核心解説】無限降下法の原理と「なぜ矛盾が導けるのか」

無限降下法の土台にあるのは、自然数が「整列集合」であるという事実だ。公式発表資料や数学事典の記述を確認すると、整列集合とは「任意の空でない部分集合に必ず最小元が存在する集合」と定義される。ここがすべての出発点になる。

具体的な証明の流れを見てみよう。命題Pを満たす自然数n₁が存在すると仮定する。このとき、n₁より小さい自然数n₂で再び命題Pを満たすものが構成できるとする。すると同様の操作でn₃、n₄、n₅……と、いくらでも小さい自然数を生み出せるはずだ。

しかし自然数には最小値の壁がある。1より小さい自然数は存在しない。つまり、この操作は無限に続けられない。どこかで必ず止まらなければならない。それなのに「続けられる」と仮定したこと自体が論理的な破綻を引き起こす。この破綻こそが無限降下法における「矛盾」の正体だ。

数学的帰納法が「n=1から順に上へ」進むのに対し、無限降下法は「もし存在するなら、より小さい例へ下へ」と迫る。方向性は正反対だが、どちらも自然数の離散的な構造に根ざしている点では共通している。

【歴史的背景】フェルマーが編み出した証明技法とその威力

無限降下法を語る上で欠かせないのが、17世紀フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーの存在だ。報道各社・数学史の研究資料によると、フェルマーは「ある自然数解が存在すれば、必ずそれより小さい別の自然数解が存在する」という論法を用いて、当時としては画期的な整数問題の証明を行ったとされる。

特に有名なのが、フェルマーの最終定理の特別なケースであるn=4の場合の証明だ。フェルマー自身がこの無限降下法を用いて証明に成功したことが、後世の数学者たちに大きな影響を与えた。彼が書簡で「この方法を発見した」と記したことが、無限降下法という名称の由来になったとも伝えられている。

ここで興味深いのは、フェルマーが証明の詳細をほとんど書き残さなかったという歴史的事実だ。彼は書物の余白に「証明できたが、余白が狭すぎて書けない」と記したことで知られるが、無限降下法はその数少ない例外として、後世に具体的な手順が伝わった貴重な技法でもある。